เนื้อหาสาระทางคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่มีลักษณะที่เป็นนามธรรมที่มีโครงสร้างประกอบด้วยข้อตกลงเบื้องต้นในรูปของคำนิยาม อนิยาม และสัจพจน์ การใช้เหตุผลเพื่อสร้างทฤษฎีบทต่าง ๆ ที่นำไปใช้ได้อย่างเป็นระบบ คณิตศาสตร์จึงมีความถูกต้อง เที่ยงตรง คงเส้นคงวา มีระเบียบแบบแผน เป็นเหตุเป็นผล และมีความสมบูรณ์ในตัวเอง คณิตศาสตร์เป็นทั้งศาสตร์และศิลป์ที่ศึกษาเกี่ยวกับแบบรูปและความสัมพันธ์เพื่อให้ได้ข้อสรุปและการนำไปใช้ประโยชน์ เนื้อหาสาระทางคณิตศาสตร์มีลักษณะเป็นภาษาสากลที่สามารถใช้เพื่อการสื่อสาร การสื่อความหมาย และถ่ายทอดความรู้ระหว่างศาสตร์ต่าง ๆ ได้ (สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.), 2555 ก: 2)
โครงสร้างของคณิตศาสตร์ที่สมบูรณ์นั้นมีกำเนิดมาจากธรรมชาติ จากปรากฏการณ์ในธรรมชาติที่มนุษย์สังเกตเห็นแล้วนำมาสร้างเป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ เรียกว่า ระบบคณิตศาสตร์ โดยมีเป้าหมายเพื่อแก้ปัญหาที่เกิดขึ้นของธรรมชาติ ซึ่งแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ประกอบด้วยคำอนิยาม บทนิยาม และสัจพจน์ ซึ่งเป็นข้อตกลงเบื้องต้น จากนั้นใช้ความรู้เกี่ยวกับตรรกศาสตร์สรุปออกมาเป็นกฎหรือทฤษฎีบท แล้วนำกฎหรือทฤษฎีบทเหล่านั้นไปประยุกต์ใช้กับธรรมชาติต่อไป (สมเดช บุญประจักษ์, 2551: 8) ซึ่งวิธีการดังกล่าวจะทำให้เราเข้าใจธรรมชาติ ได้ดียิ่งขึ้น ทำให้สามารถควบคุม วางแผน และปรับปรุงธรรมชาติให้ดีขึ้น และนำธรรมชาติมาใช้ให้เป็นประโยชน์ได้ ดังภาพ ต่อไปนี้
จากภาพโครงสร้างของคณิตศาสตร์ในส่วนที่เป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ซึ่งประกอบด้วยคำอนิยาม บทนิยาม สัจพจน์หรือข้อตกลงเบื้องต้น และกฎหรือทฤษฎีบทนั้นมีคำอธิบายหรือรายละเอียดของแต่ละองค์ประกอบ ดังนี้
1) คำอนิยาม (undefined term) คือ คำที่ไม่สามารถให้คำจำกัดความ ไม่สามารถอธิบายได้ว่าเป็นอย่างไร แต่เราเข้าใจคำเหล่านั้น โดยอาศัยการรับรู้จากประสบการณ์ ความคุ้นเคย หรือทราบได้จากสามัญสำนึก คำเหล่านั้นถ้าให้ความหมายก็จะเกิดการวนเวียนไม่รู้จบ เช่นเดียวกับไก่เกิดก่อนไข่หรือไข่เกิดก่อนไก่ ตัวอย่างของคำอนิยาม เช่น จุด เส้นตรง สีขาว สีดำ
2) บทนิยาม (defined term) คือ คำที่สามารถอธิบายหรือให้คำจำกัดความได้โดยอาศัยคำอนิยามหรือบทนิยามอื่น ๆ เช่น
รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก คือ รูปสี่เหลี่ยมที่มีมุมทุกมุมเป็นมุมฉาก
รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า คือ รูปสามเหลี่ยมที่มีด้านทั้งสามยาวเท่ากัน
3) สัจพจน์ (axiom) คือ ข้อความที่เรายอมรับว่าเป็นจริงโดยไม่ต้องพิสูจน์ เช่น
เส้นตรงสองเส้นตัดกันที่จุดจุดเดียวเท่านั้น
สิ่งที่เท่ากับกับสิ่งที่เท่ากันย่อมเท่ากัน
สามารถลากเส้นจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งได้เสมอ
สัจพจน์ทำหน้าที่เหมือนกติกาของเกม ก่อนเล่นเกมเราต้องตกลงและยอมรับกติกานั้นเสียก่อน
สัจพจน์สำหรับคณิตศาสตร์แต่ละระบบต้องมีสมบัติที่สำคัญต่อไปนี้
(1) ความคงเส้นคงวา (consistency) เป็นสมบัติที่สำคัญในระบบคณิตศาสตร์ สัจพจน์และทฤษฎีบทที่ได้ในระบบเดียวกันจะต้องไม่ขัดแย้งซึ่งกันและกัน หมายความว่า ต้องไม่มีข้อความที่เป็นจริงและเป็นเท็จในระบบเดียวกัน
(2) ความเป็นอิสระต่อกัน (independence) สัจพจน์แต่ละสัจพจน์ไม่ควรเป็นผลสืบเนื่องจากสัจพจน์อื่นๆ ในระบบเดียวกัน
(3) ความบริบูรณ์ (completeness) ระบบสัจพจน์ที่มีความบริบูรณ์ไม่สามารถเพิ่มสัจพจน์อิสระข้อใหม่เข้าไปอีกได้
4) ทฤษฎีบทหรือกฎ หมายถึง ข้อความที่สามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นจริง ซึ่งในการพิสูจน์อาจใช้คำอนิยาม บทนิยาม สัจพจน์ หรือทฤษฎีบทอื่นที่ได้พิสูจน์ไว้ก่อนแล้ว ข้อความที่จัดว่าเป็นทฤษฎีบทจะต้องเป็นข้อความที่มีความสำคัญ และนำไปอ้างอิงในการพิสูจน์ข้อความอื่น ๆ ในระบบคณิตศาสตร์นั้น ๆ
ครูผู้สอนวิชาคณิตศาสตร์มีความจำเป็นที่ต้องเข้าใจในโครงสร้างทางคณิตศาสตร์เพื่อให้การสอนในหัวข้อต่าง ๆ และการอธิบายคำศัพท์ทางคณิตศาสตร์ให้นักเรียนฟังนั้นมีความถูกต้อง ชัดเจน ทราบถึงระดับของคำและการนำหัวข้อหรือคำศัพท์นั้น ๆ ไปอ้างอิงเพื่อพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ในเนื้อหาอื่น ๆ
กล่าวโดยสรุป โครงสร้างของคณิตศาสตร์ คือ ปรากฏการณ์ในธรรมชาติที่มนุษย์สังเกตเห็นแล้วนำมาจัดระเบียบแบบแผนเพื่อสรุปและนำไปใช้ประโยชน์ ประกอบไปด้วย อนิยาม นิยาม สัจพจน์ และทฤษฎีบท
• พฤติกรรมการสอนเรื่องโครงสร้างของคณิตศาสตร์
โครงสร้างของคณิตศาสตร์เป็นเนื้อหาสำหรับนักเรียนในระดับมัธยมศึกษา
เนื่องจากมีความเป็นนามธรรมสูงและการแยกแยะคำศัพท์ต่าง ๆ ทางคณิตศาสตร์ว่าอยู่ในส่วนใดของโครงสร้าง เป็นคำอนิยาม นิยาม กฎ หรือทฤษฎีบทนั้น นักเรียนต้องรู้จักกับคำศัพท์และวิธีการใช้คำศัพท์ต่าง ๆ ในการแก้สถานการณ์ปัญหาหรือโจทย์ปัญหามาพอสมควร อีกประการหนึ่งคือนักเรียนต้องแยะแยะคำหรือประโยคทางคณิตศาสตร์ให้ได้เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ ทั้งนี้เนื้อหาที่ลึกซึ้ง ซับซ้อน และยากขึ้นนั่นคือการพิสูจน์ทฤษฎีบทสำหรับการเรียนในวิชาเอกคณิตศาสตร์ในระดับมหาวิทยาลัย เนื้อหาเรื่องโครงสร้างของคณิตศาสตร์ในระดับมัธยมจะเน้นการแยกแยะคำศัพท์และนำคำศัพท์ต่าง ๆ ไปใช้พิสูจน์ทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์บางทฤษฎีเท่านั้น
ตัวอย่างกิจกรรมการสอนเรื่องโครงสร้างของคณิตศาสตร์
ขั้นตอนการทำกิจกรรม
1. นักเรียนส่งตัวแทนมาทำกิจกรรมหน้าชั้นเรียนประมาณ 8 – 10 คน แล้วแบ่งกลุ่มเป็น 2 กลุ่ม ตั้งชื่อหรือเลือกสีประจำกลุ่มตามความชอบ
2. ครูแจ้งกติกาการเล่นเกมใบ้คำว่า ให้นักเรียนแต่ละกลุ่มส่งตัวแทนมาแข่งขันครั้งละ 1 คน กลุ่มหนึ่งเป็นคนใบ้คำ กลุ่มหนึ่งเป็นคนทายคำ กลุ่มที่ทายจะต้องหยิบคำศัพท์มาวางบนหน้าผาก แล้วให้คนกลุ่มตรงข้าม ใบ้คำโดยไม่ให้มีคำศัพท์ที่ถูกต้องในคำใบ้ ภายในเวลา 7 วินาทีต่อ 1 คำศัพท์
3. นักเรียนแต่ละกลุ่มสลับเพื่อนในกลุ่มออกมาเล่นเกม
4. รวมคะแนนและให้รางวัลกับกลุ่มที่ชนะ
จากกิจกรรมดังกล่าวจะทำให้นักเรียนได้อธิบายคำศัพท์ต่าง ๆ ตามความเข้าใจ โดยครูต้องทบทวนคำศัพท์ต่าง ๆ ในเกม สอบถามความรู้สึกของนักเรียนที่ใบ้คำแต่ละคำ จะพบว่าคำที่อธิบายยากมากมักจะอยู่ในประเภทคำอนิยาม คำที่อธิบายง่ายมักจะอยู่ในประเภทคำนิยาม
อ้างอิง : สุพรรณิการ์ ชนะนิล. (2560). พฤติกรรมการสอนคณิตศาสตร์. มหาสารคาม; โรงพิมพ์มหาวิทยาลัยราชภัฏมหาสารคาม
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น