เนื้อหาสาระทางคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่มีลักษณะที่เป็นนามธรรมที่มีโครงสร้างประกอบด้วยข้อตกลงเบื้องต้นในรูปของคำนิยาม อนิยามและสัจพจน์ การใช้เหตุผลเพื่อสร้างทฤษฎีบทต่าง ๆ ที่นำไปใช้ได้อย่างเป็นระบบ คณิตศาสตร์จึงมีความถูกต้อง เที่ยงตรง คงเส้นคงวา มีระเบียบแบบแผน เป็นเหตุเป็นผล และมีความสมบูรณ์ในตัวเอง คณิตศาสตร์เป็นทั้งศาสตร์และศิลป์ที่ศึกษาเกี่ยวกับแบบรูปและความสัมพันธ์เพื่อให้ได้ข้อสรุปและการนำไปใช้ประโยชน์ เนื้อหาสาระทางคณิตศาสตร์มีลักษณะเป็นภาษาสากลที่สามารถใช้เพื่อการสื่อสาร การสื่อความหมาย และถ่ายทอดความรู้ระหว่างศาสตร์ต่างๆ ได้ (สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.), 2555: 2)
โครงสร้างของคณิตศาสตร์ที่สมบูรณ์นั้นมีกำเนิดมาจากธรรมชาติ
จากปรากฏการณ์ในธรรมชาติที่มนุษย์สังเกตเห็นแล้วนำมาสร้างเป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์
เรียกว่า ระบบคณิตศาสตร์ โดยมีเป้าหมายเพื่อแก้ปัญหาที่เกิดขึ้นของธรรมชาติ
ซึ่งแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ประกอบด้วยคำอนิยาม บทนิยาม และสัจพจน์
ซึ่งเป็นข้อตกลงเบื้องต้น
จากนั้นใช้ความรู้เกี่ยวกับตรรกศาสตร์สรุปออกมาเป็นกฎหรือทฤษฎีบท
แล้วนำกฎหรือทฤษฎีบทเหล่านั้นไปประยุกต์ใช้กับธรรมชาติต่อไป (สมเดช บุญประจักษ์, 2551:
8) ซึ่งวิธีการดังกล่าวจะทำให้เราเข้าใจธรรมชาติได้ดียิ่งขึ้น ทำให้สามารถควบคุม
วางแผน และปรับปรุงธรรมชาติให้ดีขึ้น และนำธรรมชาติมาใช้ให้เป็นประโยชน์ได้
จากภาพโครงสร้างของคณิตศาสตร์ในส่วนที่เป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ซึ่งประกอบด้วยคำอนิยาม
บทนิยาม สัจพจน์หรือข้อตกลงเบื้องต้น และกฎหรือทฤษฎีบทนั้น
มีคำอธิบายหรือรายละเอียดของแต่ละองค์ประกอบ ดังนี้
1) คำอนิยาม
(undefined term) คือ คำที่ไม่สามารถให้คำจำกัดความ
ไม่สามารถอธิบายได้ว่าเป็นอย่างไร แต่เราเข้าใจคำเหล่านั้น
โดยอาศัยการรับรู้จากประสบการณ์ ความคุ้นเคย หรือทราบได้จากสามัญสำนึก
คำเหล่านั้นถ้าให้ความหมายก็จะเกิดการวนเวียนไม่รู้จบ เช่นเดียวกับ
ไก่เกิดก่อนไข่หรือไข่เกิดก่อนไก่ ตัวอย่างของคำอนิยาม เช่น จุด เส้นตรง สีขาว
สีดำ
2) บทนิยาม
(defined term) คือ คำที่สามารถอธิบายหรือให้คำจำกัดความได้
โดยอาศัยคำอนิยามหรือบทนิยามอื่นๆ เช่น
รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก คือ
รูปสี่เหลี่ยมที่มีมุมทุกมุมเป็นมุมฉาก
รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า คือ
รูปสามเหลี่ยมที่มีด้านทั้งสามยาวเท่ากัน
3) สัจพจน์
(axiom) คือ ข้อความที่เรายอมรับว่าเป็นจริงโดยไม่ต้องพิสูจน์
เช่น
เส้นตรงสองเส้นตัดกันที่จุดจุดเดียวเท่านั้น
สิ่งที่เท่ากับกับสิ่งที่เท่ากันย่อมเท่ากัน
สามารถลากเส้นจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งได้เสมอ
สัจพจน์ทำหน้าที่เหมือนกติกาของเกม
ก่อนเล่นเกมเราต้องตกลงและยอมรับกติกานั้นเสียก่อน
สัจพจน์สำหรับคณิตศาสตร์แต่ละระบบต้องมีสมบัติที่สำคัญต่อไปนี้
(1)
ความคงเส้นคงวา (consistency) เป็นสมบัติที่สำคัญในระบบคณิตศาสตร์
สัจพจน์และทฤษฎีบทที่ได้ในระบบเดียวกันจะต้องไม่ขัดแย้งซึ่งกันและกัน หมายความว่า
ต้องไม่มีข้อความที่เป็นจริงและเป็นเท็จในระบบเดียวกัน
(2)
ความเป็นอิสระต่อกัน (independence) สัจพจน์แต่ละสัจพจน์ไม่ควรเป็นผลสืบเนื่องจากสัจพจน์อื่นๆ
ในระบบเดียวกัน
(3)
ความบริบูรณ์ (completeness) ระบบสัจพจน์ที่มีความบริบูรณ์ไม่สามารถเพิ่มสัจพจน์อิสระข้อใหม่เข้าไปอีกได้
4)
ทฤษฎีบทหรือกฎ หมายถึง ข้อความที่สามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นจริง
ซึ่งในการพิสูจน์อาจใช้คำอนิยาม บทนิยาม สัจพจน์
หรือทฤษฎีบทอื่นที่ได้พิสูจน์ไว้ก่อนแล้ว
ข้อความที่จัดว่าเป็นทฤษฎีบทจะต้องเป็นข้อความที่มีความสำคัญ
และนำไปอ้างอิงในการพิสูจน์ข้อความอื่น ๆ ในระบบคณิตศาสตร์นั้น ๆ
กล่าวโดยสรุป โครงสร้างของคณิตศาสตร์
คือ
ปรากฏการณ์ในธรรมชาติที่มนุษย์สังเกตเห็นแล้วนำมาจัดระเบียบแบบแผนเพื่อสรุปและนำไปใช้ประโยชน์
ประกอบไปด้วย อนิยาม นิยาม สัจพจน์ และทฤษฎีบท
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น